Пошук по сайту


Уроків факультативного курсу з математики для 7 класу по темі „Історія математики”

Уроків факультативного курсу з математики для 7 класу по темі „Історія математики”

Сторінка1/6
  1   2   3   4   5   6
Старокостянтинівський методичний кабінет

Матеріали до уроків факультативного курсу з математики для 7 класу по темі „Історія математики”

Вчительки математики Стецьківської ЗОШ І-ІІІ ступенів Шевчук Володимир Семенович


2012 рік

Урок 1

Тема: Історія розвитку поняття про натуральне число.

Мета: Узагальнити поняття натуральних чисел і сформулювати їх властивості, ввести поняття кількісних і порядкових натуральних чисел. Показати як виникло уявлення про число і як воно поступово розширювалось та удосконалювалось.
Хід уроку

І Вступна бесіда

Вчитель повідомляє, що занятті факультативного курсу на ряду з іншими темами ми будемо продовжувати свої знання про числа, зокрема ознайомимось детальніше із історією розвитку поняття про число.

ІІ Актуалізація опорних знань:

а) Запитання:

1) Назвати найменше і найбільше натуральне число.

2) Чи можна назвати число 0 натуральним числом?

3) Де ще використовуються натуральні числа, крім лічби?

б) усвідомлення поняття „Натуральний ряд чисел” та „Натуральні числа”.

Розгляньте такі ряди:

1)дерев:

2)квадратів:

3)чисел:0,1,2,3,…

4)чисел:1,3,5,7,…

5)чисел:1,2,3,4,5,6,7,8,…

6)чисел:1,2,3,4,5,6,7,…

7)чисел:1,2,3,4,5,6,7,…

8)чисел:2,3,4,5,…

Які з цих рядів утворені натуральними числами, а які є рядом натуральних чисел?

ІІІ Вивчення нового матеріалу:

IV. план пояснення:

1)Початкова стадія розвитку лічби.

2)Пальцева лічба.

3)Числа сукупності.

4)Абстрактні числа.

5)Нескінченність ряду натуральних чисел.
Розповідь учителя (див. матеріали до уроку).

V. Математичний диктант на осмислення матеріалу.

1)Дюжина – це скільки?

2)Які ви знаєте числа-сукупності?

3)Записати числа із пальцевої лічби „руку закінчено”, „два на другій руці”, „нога”.

4)Як називають „верховинного бога”?

VI. Підсумки уроку:

Обгрунтування поняття натурального числа.

Натуральні числа, крім основної функції — харак­теристики кількості предметів, мають ще й іншу функ­цію — характеристику порядку предметів, розміщених у ряд. Поняття порядкового числа (перший, другий, і т. д.), яке виникає у зв'язку з цією функцією, тісно переплі­тається з поняттям кількісного числа (один, два і т. д.). Зокрема, розміщення в ряд деяких предметів і на­ступне їх перелічування із застосуванням порядкових чисел — спосіб лічби, який застосовувався з давніх-да­вен (наприклад, якщо останній з перелічуваних предме­тів буде сьомий, то це й означає, що є сім предметів).

Поняття про натуральне число тривалий час у науці не обґрунтовувалося. Воно таке звичне і просте, що не було потреби давати йому означення через які-небудь простіші поняття. Тільки всередині XIX ст. під впливом розвитку в математиці аксіоматичного методу, з одно­го боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу, — з другого, назріла потреба обгрунтувати по­няття кількісного натурального числа. Чітке означення цього поняття на основі поняття множини (сукупності предметів) дав у 70-х роках XIX ст. німецький матема­тик Г.Кантор (1845—1918). Спочатку він означає по­няття рівнопотужності сукупностей. Дві сукупності на­зиваються рівнопотужними, якщо кожному предмету од­нієї сукупності можна поставити у відповідність один і тільки один предмет другої сукупності. Потім число предметів, які утворюють дану сукупність, Кантор оз­начає як те спільне, що має дана сукупність і всяка ін­ша рівнопотужна їй сукупність предметів незалежно від якісних особливостей цих предметів. Таке означення відбиває суть натурального числа як результату лічби предметів, що утворюють дану сукупність.

Справді, на всіх історичних стадіях розвитку суть лічби полягала у зіставленні по одному предметів, які треба полічити, і предметів, які утворюють «еталонну» сукупність (на ранніх ступенях — пальці руки, заруб­ки на палиці і т. д., на сучасному етапі — слова або знаки, які позначають числа). Означення, яке дав Кантор, було основою для узагальнення поняття кількісного числа в напрямі кількісної характеристики нескінченних множин.

Інше, аксіоматичне, обгрунтування поняття натураль­ного числа дав італійський математик Дж.Пеано (1858—1932). Він побудував систему аксіом, що грунту­ється на понятті відношення порядку.
VIІ. Домашнє завдання: Конспект.
Матеріали до уроку.

ПОЧАТКОВА СТАДІЯ РОЗВИТКУ ЛІЧБИ

Був час, коли людство не мало досить чіткого уявлен­ня про число. Про це свідчать народні перекази, в яких прославляються імена «благодійників», які «відкрили» людству поняття числа. Греки, наприклад, такими бла­годійниками — винахідниками чисел вважали Паламеда і Прометея.

Вустами безсмертного титана Прометея, який був за­суджений Зевсом на вічні муки, великий стародавній драматург Есхіл (525—456 до н. є.) у своїй безсмертній трагедії «Прикутий Прометей» говорить:

«Послухайте, що смертним зробив я...

Число їм винайшов

І букви навчив сполучати...»

Звичайно, людей навчили лічити не боги — вони самі поступово, протягом сотень століть, передавали досвід і свої знання з покоління в покоління, розвиваючи і вдо­сконалюючи мистецтво лічби.

Поняття числа і фігури взяті не звідки-небудь, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму. З поняттям абстрактного числа спочатку тісно пов'я­зувалося поняття числа яких-небудь окремих предметів, здебільшого різних органів людини і тварин. Наприклад, очі, вуха, руки людини, ноги і крила птахів були ніби наочним посібником для формування уявлення про число «два». Будь-який окремий предмет давав уявлення про число «один»: Місяць, Сонце, сама первісна людина («я»). Тому замість числа «один» говорили: «Місяць», «Сонце», «я». Замість числа «два» говорили: «очі», «ву­ха», «крила» (це ніби означало — «стільки, скільки в мене очей або вух, у птаха — крил»).

Наявність однини, двоїни і множини у багатьох мо­вах вказує, очевидно, на те, що людство мало колись такий ступінь розвитку, при якому поняття про один і два предмети розрізнялися, а три і більше предметів не розрізнялися й сприймалися як множина.

Відомо, що лісові ведди (народність, яка живе у внутрішній частині о. Цейлон) ніколи не говорили «три дерева» або «два бики», а говорили тільки «дерева», «бики», тобто ці люди мали тільки найпримітивніші уявлення про множину.

У 1972 р. у непрохідних джунглях південної частини острова Мінданао (Філіппіни) було виявлено плем'я тісадаї, яке живе в печерах. На запитання, скільки людей у їхньому племені, вони не можуть дати відповіді, але готові перелічити всі імена. Їх виявилось 24.

Людство довго переживало стадію лічби «один, два і багато». Так, вважалось, що «багато» зірок на небі, «багато» пальців на руці.

Стародавні єгиптяни для вираження множини яки­хось предметів або понять під відповідним ієрогліфом ставили три рисочки.

Нам тепер важко уявити народ, який числа, більші за «три», називає одним словом «багато», «купа», «жме­ня», «оберемок» і т. д., а тим часом, як свідчать мандрів­ники й етнологи, такі народи зустрічаються ще й зараз.

І тепер ще є народи, для яких три означає «багато». Це, наприклад, індійці-ботакуди в Бразилії або жителі острова Менгон в Океанії.

Є й такі народи, мова яких має тільки два числівни­ки: один і два. У багатьох племен Австралії і Полінезії до недавнього часу цим справа й обмежувалась. За до­помогою поєднання згаданих числівників ці племена утворювали числа: 3 — два, один; 4 —два, два; 5 — два, два, один; 6 — два, два, два. Наприклад, у західних пле­мен з островів Торресової протоки єдиними числівника­ми є 1 — «урапун» і 2 — «окоза». Далі вони лічать так: З — окоза, урапун; 4 — окоза, окоза; 5 — окоза, окоза, урапун; 6—окоза, окоза, окоза. Плем'я маринданим, яке живе на півдні Західного Ірану, знає лише числів­ник «сакод» — один і «іна» — два. У них 3 — іна, сакод; .4 — іна, іна.

У племен, які живуть у бухті Купера, 1 — «гуна» і 2 — «баркула»; 3 —баркула, гуна; 4 — баркула, барку­ла. Аналогічно у племен річки Муррей: 1 — «еноа»; 2— «петчевал»; 3 — петчевал, еноа; 4 — петчевал, петчевал.

Цей спосіб лічби (а як свідчать факти, через нього пройшли й інші народи) поклав початок найстародавнішій з усіх систем числення — двійковій системі. Сліди її ми знаходимо в єгипетському способі множення та ді­лення, в системі єгипетських дробів, а також у тому, що багато мов, наприклад старослов'янська, поряд з одниною і множиною мають і двоїну.

Ми й тепер деякі іменники, коли їх два, три або чо­тири, відмінюємо не за правилами відмінювання мно­жини: один крок, два (три, чотири) кроки, але багато кроків. «Кроки» — це двоїна, а не множина.

Коли виділилася множина, яка складалася з трьох предметів (елементів), і поступово з'явилось уявлення про нове число, то воно сприймалось як щось таке, що виходить за межі звичайного. Звідси, напевне, і бере початок марновірство, яке полягає в боязні числа «три» (три свічки, троє гостей і т. д.).

Результати наукових досліджень свідчать про те, що людство досить довго стояло на такому ступені розвитку числових уявлень, коли число «три» було крайньою ме­жею чисел, які мали назву, і служило символом мно­жини, сукупності. Наприклад, у, деяких мовах існувало і потрійне число як пережиток трійкової системи.

Однак не слід думати, що племена, які користува­лися числівниками тільки в межах перших трьох чисел, не вміли лічити великі сукупності. Людина навчилася в певному розумінні «лічити» задовго до того, як виник­ли назви чисел. Один із спостерігачів так розповідає про плем'я абіпонів (племена Південної Америки), у мові якого на початку минулого століття були тільки перші два числівники: 1 —«інітара» і 2 — «іньоака»; число три вони зображали як іньоака, інітара; число чотири — пальці страуса; п'ять — пальці руки; десять — пальці обох рук; двадцять — пальці обох рук і ніг. Виїжджаю­чи на полювання, абіпон, сидячи вже в сідлі, оглядав усю собачу зграю і, коли в ній не було хоча б одного собаки, кликав його. Спостерігача особливо дивувало те, як абіпон, не вміючи лічити, відразу визначав, що серед такої великої зграї не було одного собаки.

Дамари (жителі південно-західної Африки) на прак­тиці не вживали числівників, більших за «три». Коли вони хотіли подати «чотири», то користувалися пальця­ми, їм було дуже важко перейти за «п'ять», бо тоді не лишалося вільної руки, щоб відбирати пальці і, так би мовити, закріплювати за ними роль потрібних одиниць. І все-таки дамари рідко губили биків. Про зникнення якого-небудь бика вони дізнавалися не з того, що кіль­кість голів у череді зменшилась, а з того, що не бачили бика, якого добре пам'ятали за зовнішніми ознаками. Так само як дитина, яка ще не навчилася лічити, не відповість на запитання, скільки в неї ляльок, але докладно розповість, які в неї ляльки, — так і ескімоси, за словами англійського дослідника Арктики Уільяма Паррі (1790—1855), не могли правильно полічити своїх собак, якщо їх більш як троє. Не загальну кількість со­бак тримає в пам'яті ескімос, а окремі уявлення про їх зовнішні ознаки (білий з чорними цяточками, собака, що народився в голодну зиму, і т. д.).

Справа в тому, що на такій стадії розвитку суспіль­ства людина сприймала кількість як одну з властивостей сукупності предметів. Ця властивість характеризувала сукупність поряд з іншими властивостями: кольором, формою, розміром тощо.

Природно, що перед людиною в її практиці виникло завдання кількісного порівняння сукупностей предметів. Напрошується запитання: чи обов'язково треба мати поняття числа, щоб встановлювати кількісні співвідно­шення між сукупностями предметів? Виявляється, ні. У недалекому минулому людина з лісів Центральної Африки вміла лічити в дуже незначних межах, але, не­зважаючи на це, обмінювала велику кількість слонових іклів на пачки тютюну, не боячись бути обдуреною за­морськими купцями. Вона просто зіставляла кількість іклів і кількість пачок тютюну, укладаючи кожне ікло з пачкою, і таким чином переконувалася в рівночисельності обмінюваних сукупностей предметів. Коли у дамарів відбувався торг, то за кожну вівцю треба було пла­тити окремо. Наприклад, мандрівник, вимінюючи 4 вівці на 8 пачок тютюну, повинен був покласти на спину кож­ної вівці по 2 пачки тютюну. Інший мандрівник розпо­відає, що він виміняв у дамара телицю за 10 пачок тютюну. Полічити до десяти дамар не зміг, тоді він роз­клав на землі свої руки і на кожний палець довелося дати йому по пачці тютюну.

Ці й інші приклади показують, що під час обміну, порівнюючи обмінювані предмети, спочатку не лічили їх кількості, а наочно встановлювали взаємно однознач­ну відповідність між ними. Ця операція відігравала дуже велику роль в арифметиці. Зрозуміло, саме понят­тя взаємно однозначної відповідності при цьому викори­стовувалось не свідомо. Потрібний був довгий розвиток математики і всієї абстрагуючої здатності людини, щоб поняття взаємно однозначної відповідності елементів скінченних рівнопотужних множин — історично одне з перших — у наш час було покладено в логічну основу означення кількісного натурального числа.

Так само поступово виділялося число «чотири», яке спочатку означало множину взагалі. Наприклад, у ки­тайців вираз «чотири моря» означає «всі моря».

Приблизно те саме відбувалося і з виділенням чисел «п'ять» і «шість».

І тепер є народи, які вміють лічити по суті лише до шести. Індіанське плем'я бакаїрис, або бакаїри, яке живе в джунглях Бразілії, оперує двома цифрами: «то-кале» — один, «ахаге»—два. Щоб дістати «три», люди цього племені додають «ахаге і токале». «П'ять» має такий вигляд: ахаге — ахаге — токале. Число «шість» вимовляють як ахаге—ахаге—ахаге. На цьому лічба за­кінчується. Все, що перевищує шість, буде «багато». На такому ж рів­ні розвитку бакаїри були ще у 80-х роках XIX ст., коли відомий німецький мандрівник і етнограф К. Штейн досліджував це плем'я. Він не раз змушував людей цього племені полічити десять зернин. При цьому вони повільно, але правильно лічили до шести. Відлічуючи сьому і восьму зернини, бакаїри ставали напруженими, сумними, починали позіхати, скаржилися на головний біль, а потім ухилялися від відповіді або зовсім тікали. Про числа, більші за «шість», остров'яни з Торресової протоки говорять «багато-багато», «множина» і т. п. В багатьох народів світу число «сім» увійшло в легенди, приказки і прислів'я як синонім чогось вели­кого, непорушного. Так, французи, присягаючи, гово­рять: «твердо, як сім». У грецьких легендах зустрічаємо «сім чудес світу», «сім мудреців», у середні віки — «сім вільних мистецтв». Річка Ніл має «сім рукавів» (насправді їх значно більше). Щасливий відчуває себе на «сьомому небі», на «сьомому небі» жили боги, у ча­рівних казках різних народів зустрічаються «семимиль­ні» чоботи і змії (дракони) з «сімома» головами. З чис­лом «сім» пов'язані також назви казок «Семеро козе­нят» (російська казка), «Сім зірочок» (казка народу майорі, Нова Зеландія), «Сім суперників» (ефіопська казка), «Сім козячих голів» (албанська казка), «Як се­меро братів шукали свого батька» (казка народу буале, Берег Слонової Кістки) тощо.

Числом «сім» позначали неозначену множину і наші предки. Про це свідчать такі приказки і прислів'я: «Се­меро одного не ждуть», «Сім раз відміряй, а раз від­ріж», «Де сім няньок, там дитя каліка», «За кусок кишки сім верст пішки», «Один з сошкою, а семеро з ложкою» і т. д. Про незрозуміле говорили, що це книж­ка «за сімома печатками», знахарки в російських каз­ках давали хворому «сім вузличків з лікарською тра­вою, яку треба настояти на семи водах і протягом семи днів приймати щодня по сім ложок». (Віра в чудодійну силу лікування спиралася на число «сім», яке багато разів повторювалося). І немає нічого дивного, що згідно з легендами всі великі стародавні міста, у тому числі Рим і Київ, збудовані на «семи горбах».

Отже, на цій стадії розвитку суспільства натураль­ний ряд був скінченним і складався з кількох, іноді на­віть з двох членів.

З розвитком суспільства виникає потреба лічити і за­пам'ятовувати вже порівняно великі кількості, тому по­передній спосіб лічби за допомогою повторення нижчих числівників стає непридатним. Вищим числам дають окремі назви, виникають вищі числівники.

Процес утворення нових числівників спричинив те, що «крайнім» числом було вже не «два», «три», чи «чо­тири», а «п'ять», «шість» і т. д. Кількості, які лежали за межею крайнього числа, сприймалися як неозначене «багато»; при потребі такі кількості лічили за допомо­гою повторення нижчих числівників. У деяких народів цей процес відбувався два, а то й три рази.

Так поступово і дуже повільно зростав натуральний ряд чисел.

ПАЛЬЦЕВА ЛІЧБА

Якщо назва числівника «два», як ми вже зазначали, пов'язується в різних народів з різними органами лю­дини і тварин, то дальші назви для чисел виникали, як визнають філологи, у зв'язку з лічбою за допомогою пальців.

У міру того, як лічба ставала потребою, повинні були також з'явитися й перші інструменти, які полегшили б її. Такими першими інструментами, «наочними посібни­ками», були пальці — спочатку однієї руки, потім двох рук, і, нарешті, також пальці ніг. Пальці первісна люди­на вважала основним знаряддям лічби, тобто постійним незмінним рядом знаків, з якими під час лічби порів­нювався будь-який інший новий ряд перелічуваних предметів. Кисть руки («п'ять») є синонімом і фактич­ною основою числівника «п'ять» у багатьох народів. Наприклад, малайське «ліма» означає одночасно і «ру­ка», і «п'ять».

Щоб сказати «п'ять», індіанці деяких племен говорять
  1   2   3   4   5   6

поділитися в соціальних мережах



Схожі:

Організація навчально-виховного процесу з математики
Фахівці з методики викладання математики, які складають навчальні програми для шкіл різного профілю,часто ставлять запитання про...

Г. М. Микитюк Критичність мислення та формування компетенцій
У пропонованому посібнику розглядаються можливості уроків критичного мислення з використанням методів навчання математики у формуванні...

Методичні рекомендації щодо вивчення математики у 5-9 кла­сах подано...
«Збірник програм з математики для допрофільної підготовки та профільного на­вчання (у двох частинах)», видавництва «Ранок», Харків,...

Калинівська середня загальноосвітня школа Дніпропетровська область,...
Шевченко Ганна Миколаївна, вчитель математики Калинівської середньої загальноосвітньої школи Широківського району

Програма курсу за вибором для учнів 10
Автор: Грицик Тетяна Андріївна, викладач математики внз «Надслучанський інститут» м. Березне Рівненської області

Програма курсу за вибором для учнів 10-11
Автор: Догару Ганна Георгіївна, вчитель математики загальноосвітньої шко­ли і-іп ступенів №2 ім. С. О. Тучкова м. Ізмаїла Одеської...

Рекомендації щодо проведення уроків історії у 6 класі, при відсутності...
Програма інтегрованого курсу «Всесвітня історія. Історія України. 6 клас» розрахована на 70 годин (2 години на тиждень), з яких резерв...

Позакласний захід з математики Гра “Математичний бокс”. 8-9 класи...
Проводиться бій за титул чемпіонів школи серед команд 8-9класів. Дві команди беруть участь у змаганнях у складі 6 чоловік

Щоб ви могли розкрити
Розпочинаємо “Брейн – ринг” з математики‚ інформатики та фізики‚ в якому беруть участь команди з 11 класу

Лубенська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №4
Цей навчальний посібник стане в нагоді школярам, які прагнуть розширити свої знання з математики та бажають самостійно оволодівати...



База даних захищена авторським правом © 2017
звернутися до адміністрації

l.lekciya.com.ua
Головна сторінка